В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 100, а основание 60, вписана окружность.
Найдите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах.

   Решение

Точка O – центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что  BK·AB = BO²  и
AM·AB = AO².  Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки подобия ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Точка O – центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что  BK·AB = BO²  и
AM·AB = AO².  Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.

Решение

Так как  BK : BO = BO : AB  и  ∠KBO = ∠ABO,  то треугольники KOB и OAB подобны. Поэтому  ∠KOB = ∠OAB.  Аналогично  ∠AOM = ∠ABO.  Следовательно,  ∠KOM = ∠KOB + ∠BOA + ∠AOM = ∠OAB + ∠BOA + ∠ABO = 180°,  то есть точки K, O и M лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования