На плоскости дан угол, образованный двумя лучами a и b, и некоторая точка M.
Провести через точку M прямую c так, чтобы треугольник, образованный прямыми a, b и c, имел периметр данной величины.

   Решение

Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.

   Решение

К двум окружностям, расположенным одна вне другой, проведены одна внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две прямые, каждая из которых проходит через точки касания, принадлежащие одной из окружностей. Докажите, что точка пересечения этих прямых расположена на прямой, соединяющей центры окружностей.

   Решение

Тема:    [ Подобные фигуры ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

К двум окружностям, расположенным одна вне другой, проведены одна внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две прямые, каждая из которых проходит через точки касания, принадлежащие одной из окружностей. Докажите, что точка пересечения этих прямых расположена на прямой, соединяющей центры окружностей.

Решение

Обозначим центры окружностей через O₁ и O₂. Внешняя касательная касается первой окружности в точке K, а второй окружности в точке L; внутренняя касательная касается первой окружности в точке M, а второй окружности в точке N (рис.). Пусть прямые KM и LN пересекают прямую O₁O₂ в точках P₁ и P₂ соответственно. Надо доказать, что P₁ = P₂. Рассмотрим точки A, D₁, D₂ пересечения прямых KL и MN, KM и O₁A, LN и O₂A соответственно.  O₁AM + NAO₂ = 90^o,
поэтому прямоугольные треугольники O₁MA и ANO₂ подобны, а также  AO₂ || KM и  AO₁ || LN. Из параллельности этих прямых получаем  AD₁ : D₁O₁ = O₂P₁ : P₁O₁ и  D₂O₂ : AD₂ = O₂P₂ : P₂O₁. Из подобия четырехугольников AKO₁M и O₂NAL получаем  AD₁ : D₁O₁ = D₂O₂ : AD₂. Следовательно,  O₂P₁ : P₁O₁ = O₂P₂ : P₂O₁, т. е. P₁ = P₂.

Источники и прецеденты использования