Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны угол XAY и окружность внутри его. Постройте точку окружности, сумма расстояний от которой до прямых AX и AY минимальна.

   Решение

---

Окружности O₁ и O₂ лежат внутри треугольника и касаются друг друга извне, причём окружность O₁ касается двух сторон треугольника, а окружность O₂ -- тоже касается двух сторон треугольника, но не тех же, что O₁. Доказать, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса окружности, вписанной в треугольник.

   Решение

---

Все грани шестигранника – четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник – куб?

   Решение

---

Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

{	cos x=ax+b
	sin x+a=0

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

   Решение

---

Даны отрезки a и b. Постройте отрезки   ,  .

   Решение

---

(Сообщил А. Л.Брудно) Прямоугольное поле m×n разбито на mn квадратных клеток. Некоторые клетки покрашены в чёрный цвет. Известно, что все чёрные клетки могут быть разбиты на несколько непересекающихся и не имеющих общих вершин чёрных прямоугольников. Считая, что цвета клеток даны в виде массива типа

подсчитать число чёрных прямоугольников, о которых шла речь. Число действий должно быть порядка mn.

   Решение

---

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Докажите, что ломаная AOC делит ABCD на две фигуры равной площади.

   Решение

Тема:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Докажите, что ломаная AOC делит ABCD на две фигуры равной площади.

Решение

Пусть  AOB = и  COD = . Тогда  /2 + /2 = ADP + PAD = 90^o. А так как  2S_AOB = R²sin и  2S_COD = R²sin, где R — радиус описанной окружности, то  S_AOB = S_COD. Аналогично  S_BOC = S_AOD.

Источники и прецеденты использования