Информация о задаче

Задача 56682

Тема:

[

Три окружности одного радиуса

]

Сложность: 5
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Три равные окружности пересекаются так, как показано на рис., а или б. Докажите, что $\smile$ AB₁ + $\smile$ BC₁± $\smile$ CA₁ = 180^o, где знак минус берется в случае б.

Решение

Легко проверить, что $\smile$ AB₁± $\smile$ B₁A₁ = $\smile$ AC₁ + $\smile$ C₁A₁, $\smile$ BC₁ + $\smile$ C₁B₁ = $\smile$ BA₁± $\smile$ B₁A₁ и $\smile$ C₁A₁± $\smile$ CA₁ = $\smile$ C₁B₁± $\smile$ B₁C, где знак минус берется только в случае б. Складывая эти равенства, получаем $\smile$ AB₁ + $\smile$ BC₁± $\smile$ CA₁ = $\smile$ AC₁ + $\smile$ BA₁± $\smile$ CB₁. С другой стороны, удвоенные величины углов треугольника ABC равны $\smile$ BA₁± $\smile$ CA₁, $\smile$ AB₁± $\smile$ CB₁ и $\smile$ BC₁ + $\smile$ AC₁, а их сумма равна 360^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	4
Название	Три окружности одного радиуса
Тема	Три окружности одного радиуса
задача
Номер	03.025