ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56705
Тема:    [ Окружности, вписанные в сегмент ]
Сложность: 8
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S1 касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S2 касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I1, I2 и r, r1, r2 -- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S1, S2; $ \varphi$ = $ \angle$ADB. Докажите, что точка I лежит на отрезке I1I2, причём I1I : II2 = tg2$ {\frac{\varphi }{2}}$. Докажите также, что r = r1cos2$ {\frac{\varphi }{2}}$ + r2sin2$ {\frac{\varphi }{2}}$ (Тебо).

Решение

Пусть E1 и E2 — основания перпендикуляров, опущенных из точек I1 и I2 на прямую AC. Согласно задаче 3.46 точка I является точкой пересечения прямой, проходящей через точку E1 и точку касания прямой BD и окружности S1, и прямой, проходящей через точку E2 и точку касания прямой BD и окружности S2. Пусть F1 — точка пересечения прямых E1I1 и E2I, F2 — точка пересечения прямых E2I2 и E1I. Ясно, что DI1$ \bot$E1I, DI2$ \bot$E2I и DI1$ \bot$DI2. Поэтому I1D || F1E2 и I2D || F2E1. Следовательно, E1I1 : I1F1 = E1D : DE2 = F2I2 : I2E2. Это означает, что точка I лежит на отрезке I1I2, причем

I1I : II2 = E1F1 : E2F2 = E1E2tg$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ : E1E2ctg$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ = tg2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$.


Пусть E — проекция точки I на прямую AC. Тогда r = IE. Согласно задаче 1.1 б)

IE = $\displaystyle {\frac{I_1E_1{\rm ctg}\frac{\varphi }{2}+I_2E_2{\rm tg}\frac{\varphi }{2}}{{\rm tg}\frac{\varphi }{2}+{\rm ctg}\frac{\varphi }{2}}}$ = r1cos2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + r2sin2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 8
Название Окружности, вписанные в сегмент
Тема Окружности, вписанные в сегмент
задача
Номер 03.047B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .