Информация о задаче

Задача 56706

Тема:

[

Окружности, вписанные в сегмент

]

Сложность: 7+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Четырехугольник ABCD вписанный. Пусть r_a, r_b, r_c, r_d — радиусы вписанных окружностей треугольников BCD, ACD, ABD, ABC. Докажите, что r_a + r_c = r_b + r_d.

Решение

Пусть $\varphi$ = $\angle$ AOB, где O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Пусть, далее, r_ab, r_bc, r_cd, r_ad — радиусы окружностей, касающихся описанной окружности четырехугольника ABCD и отрезков CO и DO, DO и AO, AO и BO, BO и CO. Согласно теореме Тебо (задача 3.47B)

r_a	= r_adsin² $\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + r_abcos² $\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ ,	r_b	= r_abcos² $\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + r_bcsin² $\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ ,
r_c	= r_bcsin² $\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + r_cdcos² $\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ ,	r_d	= r_cdcos² $\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + r_adsin² $\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ .

Поэтому r_a + r_c = (r_ad + r_bc)sin² ${\frac{\varphi }{2}}$ + (r_ab + r_cd)cos² ${\frac{\varphi }{2}}$ = r_b + r_d.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	8
Название	Окружности, вписанные в сегмент
Тема	Окружности, вписанные в сегмент
задача
Номер	03.047B1