ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56706
Тема:    [ Окружности, вписанные в сегмент ]
Сложность: 7+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырехугольник ABCD вписанный. Пусть ra, rb, rc, rd — радиусы вписанных окружностей треугольников BCD, ACD, ABD, ABC. Докажите, что ra + rc = rb + rd.

Решение

Пусть $ \varphi$ = $ \angle$AOB, где O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Пусть, далее, rab, rbc, rcd, rad — радиусы окружностей, касающихся описанной окружности четырехугольника ABCD и отрезков CO и DO, DO и AO, AO и BO, BO и CO. Согласно теореме Тебо (задача 3.47B)

ra = radsin2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + rabcos2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$,     rb = rabcos2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + rbcsin2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$,    
rc = rbcsin2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + rcdcos2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$,     rd = rcdcos2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + radsin2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$.    

Поэтому ra + rc = (rad + rbc)sin2$ {\frac{\varphi }{2}}$ + (rab + rcd)cos2$ {\frac{\varphi }{2}}$ = rb + rd.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 8
Название Окружности, вписанные в сегмент
Тема Окружности, вписанные в сегмент
задача
Номер 03.047B1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .