Задача 56722

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A₁ и B₁; l — прямая, проходящая через общие точки окружностей с диаметрами AA₁ и BB₁. Докажите, что:
а) прямая l проходит через точку H пересечения высот треугольника ABC;
б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C, когда  AB₁ : AC = BA₁ : BC.

Решение

а) Пусть S_A и S_B — окружности с диаметрами AA₁ и BB₁; S — окружность с диаметром AB. Общими хордами окружностей S и S_A, S и S_B являются высоты AH_a и BH_b, поэтому они (или их продолжения) пересекаются в точке H. Согласно задаче 3.56 общая хорда окружностей S_A и S_B проходит через точку пересечения хорд AH_a и BH_b.
б) Общая хорда окружностей S_A и S_B проходит через точку пересечения прямых A₁H_a и B₁H_b (т. е. через точку C) тогда и только тогда, когда  CB₁ ^. CH_b = CA₁ ^. CH_a (длины отрезков следует считать ориентированными). Так как  CH_b = (a² + b² - c²)/2b и  CH_a = (a² + b² - c²)/2a, приходим к соотношению  CB₁/b = CA₁/a.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	10
Название	Радикальная ось
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.059