ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56722
Тема:    [ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A1 и B1l — прямая, проходящая через общие точки окружностей с диаметрами AA1 и BB1. Докажите, что:
а) прямая l проходит через точку H пересечения высот треугольника ABC;
б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C, когда  AB1 : AC = BA1 : BC.

Решение

а) Пусть SA и SB — окружности с диаметрами AA1 и BB1S — окружность с диаметром AB. Общими хордами окружностей S и SAS и SB являются высоты AHa и BHb, поэтому они (или их продолжения) пересекаются в точке H. Согласно задаче 3.56 общая хорда окружностей SA и SB проходит через точку пересечения хорд AHa и BHb.
б) Общая хорда окружностей SA и SB проходит через точку пересечения прямых A1Ha и B1Hb (т. е. через точку C) тогда и только тогда, когда  CB1 . CHb = CA1 . CHa (длины отрезков следует считать ориентированными). Так как  CHb = (a2 + b2 - c2)/2b и  CHa = (a2 + b2 - c2)/2a, приходим к соотношению  CB1/b = CA1/a.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 10
Название Радикальная ось
Тема Радикальная ось
задача
Номер 03.059

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .