Задача 56723

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC и AD — в точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD и EF имеют общую радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников  ABE, CDE, ADF и BCF.

Решение

Проведем в треугольнике CDE высоты CC₁ и DD₁; пусть H — точка их пересечения. Окружности с диаметрами AC и BD проходят через точки C₁ и D₁ соответственно, поэтому степень точки H относительно каждой из этих окружностей равна ее степени относительно окружности с диаметром CD (эта окружность проходит через точки C₁ и D₁). Аналогично доказывается, что степени точки H относительно окружностей с диаметрами AC, BD и EF равны, т. е. радикальные оси этих окружностей проходят через точку H. Для точек пересечения высот остальных трех треугольников доказательство проводится аналогично.
Замечание. Центры рассматриваемых окружностей лежат на прямой Гаусса (см. задачу 4.55), поэтому их общая радикальная ось перпендикулярна прямой Гаусса.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	10
Название	Радикальная ось
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.060