Докажите, что: а)  l_a² + l_b² + l_c² p²; б)  l_a + l_b + l_c p.

   Решение

Докажите, что инверсия с центром в вершине A равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) и степенью AB² переводит основание BC треугольника в дугу BC описанной окружности.

   Решение

Дана прямая MN и две точки A и B по одну сторону от нее. Постройте на прямой MN точку X так, что  ∠AXM = 2∠BXN.

   Решение

Прямые  AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке O. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ лежат на одной прямой (Дезарг).

   Решение

В прямоугольник ABCD вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину K на стороне AB. Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника ABCD.

   Решение

Тема:    [ Площадь треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольник ABCD вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину K на стороне AB. Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника ABCD.

Решение

Центры всех трех прямоугольников совпадают (см. задачу 1.7), поэтому два меньших прямоугольника имеют общую диагональ KL. Пусть M и N — вершины этих прямоугольников, лежащие на стороне BC. Точки M и N лежат на окружности с диаметром KL. Пусть O — центр этой окружности. O₁ — проекция точки O на BC. Тогда BO₁ = CO₁ и MO₁ = NO₁, а значит, BM = NC. Чтобы доказать, что  S_KLM + S_KLN = S_KBCL, достаточно проверить, что  (S_KBM + S_LCM) + (S_KBN + S_LCN) = S_KBCL = BC(KB + CL)/2 = BC ^. AB/2. Остается заметить, что  KB ^. BM + KB ^. BN = KB ^. BC,  LC ^. CM + LC ^. CN = LC ^. BC и  KB ^. BC + LC ^. BC = AB ^. BC.

Источники и прецеденты использования