Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три его копии вдвое меньшего размера.

   Решение

---

Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.

   Решение

---

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁.
  а) Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
  б) Пусть A₂ – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA₁ и AA₂ симметричны относительно биссектрисы угла A.

   Решение

---

а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то  S² = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то  S² = abcd sin²((B + D)/2).

   Решение

Тема:    [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то  S² = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то  S² = abcd sin²((B + D)/2).

Решение

а) Пусть  AB = a, BC = b, CD = c и AD = d. Ясно, что S = S_ABC + S_ADC = (ab sin B + cd sin D)/2 и a² + b² - 2ab cos B = AC² = c² + d² - 2cd cos D. Поэтому

Подставляя второе равенство в первое, получаем

Ясно, что  4(ab + cd )² - (a² + b² - c² - d²)² = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d ) и  1 + cos B cos D - sin B sin D = 2 cos²((B + D)/2).
б) Если ABCD — вписанный четырехугольник, то  B + D = 180^o, а значит,  cos²((B + D)/2) = 0.
в) Если ABCD — описанный четырехугольник, то a + c = b + d, поэтому p = a + c = b + d и  p - a = c, p - b = d, p - c = a, p - d = b. Следовательно, S² = abcd (1 - cos²((B + D)/2)) = abcd sin²((B + D)/2).
Если четырехугольник ABCD вписанный и описанный одновременно, то S² = abcd.

Источники и прецеденты использования