F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке  [0, 1].  Известно, что область её значений принадлежит отрезку  [0, 1].  Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

   Решение

Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.

   Решение

Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными номерами F_-1, F_-2, ..., F_-n,...?

   Решение

В связном графе степени четырёх вершин равны 3, а степени остальных вершин равны 4.
Докажите, что нельзя удалить ребро так, чтобы граф распался на две изоморфные компоненты связности.

   Решение

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

   Решение

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки, симметричные точке H относительно сторон BC, CA и AB соответственно. Так как  AB CH и  BC AH, то  (AB, BC) = (CH, HA), а так как треугольник AC₁H равнобедренный, то  (CH, HA) = (AC₁, C₁C). Следовательно,  (AB, BC) = (AC₁, C₁C), т. е. точка C₁ лежит на описанной окружности треугольника ABC. Аналогично доказывается, что точки A₁ и B₁ лежат на этой окружности.

Источники и прецеденты использования