Задача 56867

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

а) Докажите, что если угол A треугольника ABC равен  120^o, то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла A.
б) В треугольнике ABC угол A равен  60^o; O — центр описанной окружности, H — ортоцентр, I — центр вписанной окружности, а I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что IO = IH и I_aO = I_aH.

Решение

а) Пусть S — описанная окружность треугольника ABC, S₁ — окружность, симметричная S относительно прямой BC. Ортоцентр H треугольника ABC лежит на окружности S₁ (задача 5.9), поэтому достаточно проверить, что центр O окружности S тоже принадлежит S₁ и биссектриса внешнего угла A проходит через центр окружности S₁. Тогда POAH — ромб, так как PO| HA.
Пусть PQ — диаметр окружности S, перпендикулярный прямой BC, причем точки P и A лежат по одну сторону от прямой BC. Тогда AQ — биссектриса угла A, а AP — биссектриса внешнего угла A. Так как  BPC = 120^o = BOC, то точка P является центром окружности S₁, а точка O принадлежит окружности S₁.
б) Пусть S — описанная окружность треугольника ABC, Q — точка пересечения биссектрисы угла BAC с окружностью S. Легко проверить, что Q — центр окружности S₁, симметричной окружности S относительно прямой BC. Кроме того, точки O и H лежат на окружности S₁, а так как  BIC = 120^o и  BI_aC = 60^o (см. задачу 5.3), то II_a -- диаметр окружности S₁. Ясно также, что  OQI = QAH = AQH, так как OQ| AH и HA = QO = QH. Поэтому точки O и H симметричны относительно прямой II_a.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	4
Название	Треугольники с углами 60 и 120 градусов
Тема	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер	05.032