В треугольнике ABC из вершины A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D, лежащей между точками B и C, причём BD : BC = ( < 1). Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AC в точке E. Найдите отношение площадей треугольников ABD и ECD.

   Решение

Основания трапеции равны 1,8 и 1,2; боковые стороны, равные 1,5 и 1,2, продолжены до взаимного пересечения.
Найдите, насколько продолжены боковые стороны.

   Решение

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Биссектрисы углов A и B пересекают прямую CD в точках M и N, причём  MN = 12.
Найдите стороны параллелограмма.

   Решение

В трапеции большее основание равно 5, одна из боковых сторон равна 3. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой стороне, а другая делит угол между заданной боковой стороной и основанием пополам. Найдите площадь трапеции.

   Решение

Укажите какое-нибудь целое положительное n, при котором
  а)  1,001ⁿ > 10;
  б)  0,999ⁿ < 0,1.

   Решение

На стороне AB треугольника ABC между точками A и B взята точка D, причём AD : AB = ( < 1); на стороне BC между точками B и C взята точка E, причём BE : BC = ( < 1). Через точку E проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая сторону AB в точке F. Найдите отношение площадей треугольников BDE и BEF.

   Решение

Сколько цифр имеет число 2¹⁰⁰?

   Решение

а) В треугольниках ABC и A'B'C' равны стороны AC и A'C', углы при вершинах B и B' и биссектрисы углов B и B'.
Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, треугольник ABC равен треугольнику A'B'C' или треугольнику C'B'A').
б) Через точку D биссектрисы BB₁ угла ABC проведены прямые AA₁ и CC₁ (точки A₁ и C₁ лежат на сторонах треугольника).
Докажите, что если  AA₁ = CC₁,  то  AB = BC.

   Решение

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) В треугольниках ABC и A'B'C' равны стороны AC и A'C', углы при вершинах B и B' и биссектрисы углов B и B'.
Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, треугольник ABC равен треугольнику A'B'C' или треугольнику C'B'A').
б) Через точку D биссектрисы BB₁ угла ABC проведены прямые AA₁ и CC₁ (точки A₁ и C₁ лежат на сторонах треугольника).
Докажите, что если  AA₁ = CC₁,  то  AB = BC.

Решение

  а) Согласно задаче 56798 длина биссектрисы угла B треугольника ABC равна     поэтому достаточно проверить, что система уравнений     a² + c² – 2ac cos B = q  имеет (с точностью до перестановки чисел a и c) единственное положительное решение. Пусть  a + c = u.  Тогда
ac = pu  и  q = u² – 2pu(1 + cos β).  Произведение корней этого квадратного уравнения относительно u равно –q, поэтому оно имеет единственный положительный корень. Ясно, что система уравнений  a + c = u,  ac = pu  имеет единственное решение.

  б) В треугольниках AA₁B и CC₁B равны стороны AA₁ и CC₁, углы при вершине B и биссектрисы углов при вершине B. Согласно а) эти треугольники равны, а значит,  AB = BC  или  AB = BC₁.  Второе равенство выполняться не может.

Источники и прецеденты использования