Информация о задаче

Выбрано 7 задач

Докажите, что любой остроугольный треугольник площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади $\sqrt{3}$ .

Решение

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Решение

Докажите справедливость формулы

Решение

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁ с углами α, β и γ при основаниях, причём α + β + γ = 60°. Прямые BC₁ и B₁C пересекаются в точке A₂, AC₁ и A₁C – в точке B₂, AB₁ и A₁B – в точке C₂. Докажите, что углы треугольника A₂B₂C₂ равны 3α, 3β и 3γ.

Решение

Окружность радиуса u_a вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса u_b вписана в угол B; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами равен где p – полупериметр треугольника ABC.

Решение

Напечатать в порядке возрастания все простые несократимые дроби, заключенные между 0 и 1, знаменатели которых не превышают 7.

Решение

В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

Решение

Условие

Решение

Источники и прецеденты использования