Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Рыбников И.Г.

В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?

Вниз   Решение

Расшифруйте ребус: КИС+КСИ=ИСК. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным  — разные.

ВверхВниз   Решение

  На шкуре у Носорога складки – вертикальные и горизонтальные. Если у Носорога на левом боку a вертикальных, b горизонтальных складок, а на правом – c вертикальных и d горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии  (abcd)  или просто Носорог  (abcd).
  Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз, и у Носорога на этом боку есть две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух таких складок нет, то ничего не происходит.
  Аналогично если Носорог чешется боком вперед-назад, и на этом боку есть две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдётся, то ничего не происходит.
  Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется две новые складки: одна вертикальная и одна горизонтальная.
  Носороги чешутся часто, случайным боком о случайные баобабы в случайных направлениях.

  Вначале в саванне было стадо Носорогов  (0221).  Докажите, что через некоторое время в саванне появится Носорог  (2021).

ВверхВниз   Решение

а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник.
б) Докажите, что среди всех выпуклых n-угольников A1...An с данными величинами углов Ai и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный n-угольник.

ВверхВниз   Решение

В равнобедренной трапеции ABCD большее основание  AD = 12,  AB = 6.  Найдите расстояние от точки O пересечения диагоналей до точки K пересечения продолжений боковых сторон, если продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что пересечение трёх прямых круговых цилиндров с радиусами 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержится в некотором шаре радиуса  

ВверхВниз   Решение

Из пункта A одновременно вылетают 100 самолетов (флагманский и 99 дополнительных). С полным баком горючего самолет может пролететь 1000 км. В полёте самолеты могут передавать друг другу горючее. Самолет, отдавший горючее другим, совершает планирующую посадку. Каким образом надо совершать перелёт, чтобы флагман пролетел возможно дальше?

ВверхВниз   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, лежащие на одной прямой. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ . $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{B_1A_1}}$ . $\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = 1.


Вверх   Решение

Задача 56906
Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6
Классы: 9
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, лежащие на одной прямой. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ . $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{B_1A_1}}$ . $\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = 1.



Решение

Применим теорему Менелая к треугольникам AC1B1, C1A1B1, A1CB1 и CAB:

$\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ . $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{A_1B_1}}$ . $\displaystyle {\frac{B_1C}{CA}}$ = 1,        $\displaystyle {\frac{C_1B_1}{B_1A_1}}$ . $\displaystyle {\frac{A_1C}{CB}}$ . $\displaystyle {\frac{BA}{AC_1}}$ = 1,    
$\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ . $\displaystyle {\frac{CA}{AB_1}}$ . $\displaystyle {\frac{B_1C_1}{C_1A_1}}$ = 1,        $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ . $\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ . $\displaystyle {\frac{BA_1}{A_1C}}$ = 1.    

Перемножив эти равенства, получим

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{AB}{BC_1}\cdot\frac{C_1A_1}{B_1A_1}\cdot\frac{A_1B}{BC} \cdot\frac{CB_1}{B_1A}}\right.$$\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ . $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{B_1A_1}}$ . $\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{AB}{BC_1}\cdot\frac{C_1A_1}{B_1A_1}\cdot\frac{A_1B}{BC} \cdot\frac{CB_1}{B_1A}}\right)^{2}_{}$ = 1.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 7
Название Теорема Менелая
Тема Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер 05.069B
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .