Задача 56924

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема синусов ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке P. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q.

Решение

Можно считать, что точки A₂, B₂ и C₂ лежат на сторонах треугольника ABC. Согласно задаче 5.78

^{. .} = ^{. .} .

Так как прямые AA₂, BB₂ и CC₂ симметричны прямым AA₁, BB₁ и CC₁ относительно биссектрис, то  ACC₂ = C₁CB,C₂CB = ACC₁ и т. д., поэтому

Следовательно, ^{. .} =1, т. е. прямые  AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.
Замечание. Утверждение остается верным и в том случае, когда точки A₁, B₁ и C₁ взяты на продолжениях сторон, если только точка P не лежит на описанной окружности S треугольника ABC; если же P лежит на окружности S, то прямые AA₂, BB₂ и CC₂ параллельны (см. задачу 2.90).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.079