Информация о задаче

Задача 56929

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Через точки A и D, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD взяты точки B и C. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, AB и CD — в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через точку S.

Решение

Согласно задачам 5.78 и 5.70, б)

$\displaystyle {\frac{\sin ASP}{\sin PSD}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin DAP}{\sin PAS}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin SDP}{\sin PDA}}$ = 1 = $\displaystyle {\frac{\sin ASQ}{\sin QSD}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin DAQ}{\sin QAS}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin SDQ}{\sin QDA}}$ .

Но $\angle$ DAP = $\angle$ SDQ, $\angle$ SDP = $\angle$ DAQ, $\angle$ PAS = $\angle$ QDA и $\angle$ PDA = $\angle$ QAS. Поэтому sin ASP : sin PSD = sin ASQ : sin QSD. Из этого следует, что точки S, P и Q лежат на одной прямой, так как функция ${\frac{\sin(\alpha -x)}{\sin x}}$ монотонна по x:

$\displaystyle {\frac{d }{d x}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sin(\alpha -x)}{\sin x}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\sin(\alpha -x)}{\sin x}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sin(\alpha -x)}{\sin x}}\right)$ = - $\displaystyle {\frac{\sin\alpha }{\sin^2x}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.082