Условие
Докажите, что прямые Симсона двух диаметрально
противоположных точек описанной окружности треугольника
ABC
перпендикулярны, а их точка пересечения лежит на окружности девяти
точек (см. задачу
5.106).
Решение
Пусть
P1 и
P2 — диаметрально противоположные
точки описанной окружности треугольника
ABC;
Ai и
Bi —
основания перпендикуляров, опущенных из точки
Pi на прямые
BC
и
AC;
M и
N — середины сторон
AC и
BC;
X — точка
пересечения прямых
A1B1 и
A2B2. Согласно задаче
5.92
A1B1
A2B2. Остается проверить, что

(
MX,
XN) =

(
BC,
AC). Так как
AB2 =
B1C, то
XM —
медиана прямоугольного треугольника
B1XB2.
Поэтому

(
XM,
XB2) =

(
XB2,
B2M).
Аналогично

(
XA1,
XN) =

(
A1N,
XA1).
Следовательно,

(
MX,
XN) =

(
XM,
XB2) +

(
XB2,
XA1) +

(
XA1,
XN) =

(
XB2,
B2M) +

(
A1N,
XA1) + 90
o.
А так как

(
XB2,
B2M) +

(
AC,
CB) +

(
NA1,
A1X) + 90
o = 0
o,
то

(
MN,
XN) +

(
AC,
CB) = 0
o.
Источники и прецеденты использования
|
книга |
Автор |
Прасолов В.В. |
Год издания |
2001 |
Название |
Задачи по планиметрии |
Издательство |
МЦНМО |
Издание |
4* |
глава |
Номер |
5 |
Название |
Треугольники |
параграф |
Номер |
9 |
Название |
Прямая Симсона |
Тема |
Прямая Симсона |
задача |
Номер |
05.093 |