Информация о задаче

Задача 56944

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Точки A, B, C и P лежат на окружности с центром O. Стороны треугольника A₁B₁C₁ параллельны прямым PA, PB, PC ( PA| B₁C₁ и т. д.). Через вершины треугольника A₁B₁C₁ проведены прямые, параллельные сторонам треугольника ABC.
а) Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке P₁, которая лежит на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.
б) Докажите, что прямая Симсона точки P₁ параллельна прямой OP.

Решение

Не теряя общности, можно считать, что описанные окружности треугольников ABC и A₁B₁C₁ совпадают. Определим углы $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ , как в условии задачи 5.94. Покажем, что точки с угловыми координатами ( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ )/2, (- $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ )/2, ( $\alpha$ - $\beta$ + $\gamma$ )/2 и ( $\alpha$ + $\beta$ - $\gamma$ )/2 можно взять в качестве точек P₁, A₁, B₁ и C₁. Действительно, биссектриса угла A₁OB₁ задается угловой координатой $\gamma$ /2, т. е. она параллельна PC; биссектриса угла P₁OA₁ задается угловой координатой ( $\beta$ + $\gamma$ )/2, т. е. она параллельна BC.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	9
Название	Прямая Симсона
Тема	Прямая Симсона
задача
Номер	05.094.1