Условие
Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R
с центром O. Докажите, что площадь подерного треугольника
точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99)
равна
1 - 
SABC, где d = PO.
Решение
Пусть A1, B1 и C1 — основания перпендикуляров,
опущенных из точки P на прямые BC, CA и AB; A2, B2 и C2 — точки пересечения прямых PA, PB и PC с описанной окружностью
треугольника ABC. Пусть далее S, S1 и S2 — площади
треугольников
ABC, A1B1C1 и A2B2C2. Легко проверить,
что
a1 = a . AP/2R (задача 5.99) и
a2 = a . B2P/CP.
Треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны (задача 5.100),
поэтому
S1/S2 = k2, где
k = a1/a2 = AP . CP/(2R . B2P). А
так как
B2P . BP = | d2 - R2|, то
S1/S2 = (AP . BP . CP)2/4R2(d2 - R2)2. Треугольники A2B2C2 и ABC вписаны в
одну окружность, поэтому
S2/S = a2b2c2/abc (см. задачу 12.1).
Ясно также, что, например,
a2/a = B2P/CP = | d2 - R2|/(BP . CP).
Следовательно,
S2 : S = | d2 - R2|3 : (AP . BP . CP)2.
Поэтому
S1/S = (S1/S2)(S2/S) = | d2 - R2|/4R2.
Источники и прецеденты использования
