Пусть z₁, z₂, ..., z_n – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек  z = λ₁z₁ + λ₂z₂ + ... + λ_nz_n,  где λ₁, λ₂, ..., λ_n – такие действительные положительные числа, что  λ₁ + λ₂ + ... + λ_n = 1.

   Решение

В школе все ученики — отличники, хорошисты либо троечники. В круг встали 99 учеников. У каждого среди трёх соседей слева есть хотя бы один троечник, среди пяти соседей справа — хотя бы один отличник, а среди четырёх соседей — двух слева и двух справа — хотя бы один хорошист. Может ли в этом круге быть поровну отличников и троечников?

   Решение

Докажите, что cтепень точки w относительно окружности  Azz + Bz – B z + C = 0  равна  

   Решение

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁, C₁ на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются в одной точке (Штейнер).

   Решение

Темы:    [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁, C₁ на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются в одной точке (Штейнер).

Решение

Пусть перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ пересекаются в точке P. Проведём через вершины треугольника ABC прямые, параллельные сторонам треугольника A₁B₁C₁. В результате получим треугольник A'B'C'. Пусть P' — точка, изогонально сопряжённая точке P относительно треугольника A'B'C'. Согласно задаче 5.104 в) прямые, соединяющие вершины треугольника A'B'C' с точкой P', перпендикулярны сторонам треугольника ABC. Треугольник A₁B₁C₁ гомотетичен треугольнику A'B'C'; пусть P₁ — образ точки P' при соответствующей гомотетии. Тогда прямые, соединяющие вершины треугольника A₁B₁C₁ с точкой P₁, перпендикулярны сторонам треугольника ABC, т.е. P₁ — искомая точка.

Источники и прецеденты использования