а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол  = ABP = BCP = CAP называется углом Брокара этого треугольника. Докажите, что  ctg = ctg + ctg + ctg.
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A₁. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A₁AC.

   Решение

Тема:    [ Точки Брокара ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол  = ABP = BCP = CAP называется углом Брокара этого треугольника. Докажите, что  ctg = ctg + ctg + ctg.
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A₁. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A₁AC.

Решение

а) Так как  PC = и  PC = , то  = . Учитывая, что  sin( - ) = sincos - cossin, получаем  ctg = ctg + . Остается заметить, что  sin = sin( + ) = sincos + sincos.
б) Для второго угла Брокара получаем точно такое же выражение, как и в задаче а). Ясно также, что оба угла Брокара острые.
в) Так как  A₁BC = BCA и  BCA₁ = CAB, то  CA₁B ABC. Поэтому точка Брокара P лежит на отрезке AA₁ (см. задачу 5.115, б)).

Источники и прецеденты использования