Версия для печати
Убрать все задачи

---

На бумажке записаны три положительных числа x, y и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке
 a) число x²?   б) число xy?

   Решение

---

Одной операцией к числу можно либо прибавить 9, либо стереть в нём в любом месте цифру 1.
Из любого ли натурального числа A при помощи таких операций можно получить число A + 1?
(Если стирается единица в самом начале числа, а за ней сразу идут нули, то эти нули тоже стираются.)

   Решение

---

Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара треугольника ABC остается постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса (a/2), где a = BC (окружность Нейберга).

   Решение

Тема:    [ Точки Брокара ]

Сложность: 7+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара треугольника ABC остается постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса (a/2), где a = BC (окружность Нейберга).

Решение

Согласно задаче 12.44, а)

где S — площадь треугольника. Таким образом, для треугольника с вершинами в точках с координатами (±a/2, 0) и (x, y) угол Брокара определяется равенством

т. е. 2x² + 2y² + 3a²/2 = 2ayctg. Последнее уравнение задает окружность радиуса (a/2) с центром (0,(a/2)ctg).

Источники и прецеденты использования