Задача 56985

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Биссектрисы внешнего и внутреннего углов при вершине A треугольника ABC пересекают прямую BC в точках D и E. Окружность с диаметром DE пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках A и X. Докажите, что AX — симедиана треугольника ABC.

Решение

Пусть S — точка пересечения прямых AX и BC. Тогда  AS/AB = CS/CX и  AS/AC = BS/BX, а значит,  CS/BS = (AC/AB) ^. (XC/XB). Остается заметить, что  XC/XB = AC/AB (см. решение задачи 7.16, а)).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	13
Название	Точка Лемуана
Тема	Точка Лемуана
задача
Номер	05.129