Задача 56988

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Точки A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC.
а) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника A'B'C', полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана K, то точки A₁, B₂, B₁, C₂, C₁, A₂ лежат на одной окружности (окружность Тукера).
б) Докажите, что если отрезки A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ равны и антипараллельны сторонам AB, BC и CA, то точки A₁, B₂, B₁, C₂, C₁, A₂ лежат на одной окружности.

Решение

Легко проверить, что как из условия а), так и из условия б) вытекает следующее: четырехугольники A₂B₁C₂C₁, C₂A₁B₂B₁ и B₂C₁A₂A₁ являются равнобедренными трапециями. В случае а) нужно воспользоваться результатом задачи 5.125; в случае б) это очевидно. Ясно также, что серединные перпендикуляры к основаниям этих трапеций пересекаются в одной точке. Эта точка является центром искомой окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	13
Название	Точка Лемуана
Тема	Точка Лемуана
задача
Номер	05.145B