Биссектриса угла параллелограмма делит сторону параллелограмма на отрезки, равные a и b. Найдите стороны параллелограмма.

   Решение

Представим себе большой куб, склеенный из 27 меньших кубиков. Термит садится на центр грани одного из наружных кубиков и начинает прогрызать ход. Побывав в кубике, термит к нему уже не возвращается. Движется он при этом всегда параллельно какому-нибудь ребру большого куба. Может ли термит прогрызть все 26 внешних кубиков и закончить свой ход в центральном кубике? Если возможно, покажите, каким должен быть путь термита.

   Решение

Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.

   Решение

Темы:    [ Подобные фигуры ] [ Четырехугольники (прочее) ] [ Преобразования подобия (прочее) ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.

Решение

Преобразованием подобия можно совместить одну пару соответственных сторон четырехугольников, поэтому достаточно рассмотреть четырехугольники ABCD и ABC₁D₁, у которых точки C₁ и D₁ лежат на лучах BC, AD и  CD| C₁D₁. Обозначим точки пересечения диагоналей четырехугольников ABCD и ABC₁D₁ через O и O₁ соответственно.
Предположим, что точки C и D лежат ближе к точкам B и A, чем точки C₁ и D₁. Докажем, что тогда  AOB > AO₁B. В самом деле,  C₁AB > CAB и  D₁BA > DBA, поэтому  AO₁B = 180^o - C₁AB - D₁BA < 180^o - CAB - DBA = AOB. Получено противоречие, поэтому  C₁ = C, D₁ = D.

Источники и прецеденты использования