Условие
Вершины правильного n-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.
Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.
Решение
Обозначим центр многоугольника через O, вершины – через A1, ..., An. Предположим, что среди одноцветных многоугольников нет равных, то есть они имеют m = m1 < m2 < ... < mk сторон соответственно. Рассмотрим преобразование, определенное на множестве вершин n-угольника и переводящее каждую вершину Ai в вершину Ai' = Ami (считаем, что Ap+n = Ap). При этом преобразовании вершины правильного m-угольника переходят в одну точку B, поэтому сумма векторов 
где Ai – вершины m-угольника, равна m 
≠ 0.
Вершины правильного p-угольника переходят друг в друга при повороте на угол 360°/p вокруг точки O, поэтому их образы при нашем преобразовании переходят друг в друга при повороте на угол 360°m/p. Этот угол меньше 360° при p > m. Поэтому и суммы векторов как по всем вершинам n-угольника, так и по вершинам m2-, m3-, ..., mk-угольников равны нулю. Значит, и сумма таких векторов по вершинам m-угольника равна нулю. Противоречие.
Источники и прецеденты использования
