Задача 57112

Тема:    [ Теорема Паскаля ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Условие

Две окружности касаются описанной окружности треугольника ABC в точке K; кроме того, одна из этих окружностей касается стороны AB в точке M, а другая касается стороны AC в точке N. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на прямой MN.

Решение

Пусть B₁ и C₁ — середины дуг AC и AB (имеются в виду дуги, не содержащие точек B и C соответственно). Согласно задаче 3.42, а) точки M и N лежат на отрезках KC₁ и KB₁.
Применим теорему Паскаля к шестиугольнику C₁CABB₁K. Прямые CC₁ и BB₁ — биссектрисы; прямые CA и B₁K пересекаются в точке N, прямые AB и C₁K — в точке M.
Отметим, что задача 3.45 является частным случаем этой задачи.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	9
Название	Теорема Паскаля
Тема	Теорема Паскаля
задача
Номер	06.096.1