Задача 56703

Тема:    [ Окружности, вписанные в сегмент ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Окружность, касающаяся сторон AC и BC треугольника ABC в точках M и N, касается также его описанной окружности (внутренним образом). Докажите, что середина отрезка MN совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

Пусть A₁ и B₁ — середины дуг BC и AC; O — центр вписанной окружности. Тогда  A₁B₁ CO (см. задачу 2.19, а) и  MN CO, а значит,  MN || A₁B₁. Будем перемещать точки M' и N' по лучам CA и CB так, что  M'N' || A₁B₁. Лишь при одном положении точек M' и N' точка L, в которой пересекаются прямые B₁M' и A₁N', попадает на описанную окружность треугольника ABC. С другой стороны, если отрезок MN проходит через точку O, точка L попадает на эту окружность (см. задачу 2.49).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	8
Название	Окружности, вписанные в сегмент
Тема	Окружности, вписанные в сегмент
задача
Номер	03.045