Версия для печати
Убрать все задачи

---

Обозначим корни уравнения  x² + px + q = 0  через x₁, x₂. Нарисуйте на фазовой плоскости Opq множества точек  M(, q),  которые задаются условиями:
а)  x₁ = 0,  x₂ = 1;     б)  x₁ ≤ 0,  x₂ ≥ 2;     в)  x₁ = x₂;     г)  – 1 ≤ x₁ ≤ 0,  1 ≤ x₂ ≤ 2.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, углом B, равным 30^o, и катетом CA = 1, проведена медиана CD. Кроме того, из точки D под углом 15^o к гипотенузе проведена прямая, пересекающая отрезок BC в точке F. Найдите площадь треугольника CDF. Укажите её приближённое значение в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.

   Решение

---

В треугольнике ABC проведена биссектриса CQ. Около треугольника BCQ описана окружность радиуса ¹/₃, центр которой лежит на отрезке AC.
Найдите площадь треугольника ABC, если  AQ : AB = 2 : 3.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окружностей.

   Решение

---

Докажите, что для двух непересекающихся окружностей R₁ и R₂ цепочка из n касающихся окружностей (см. предыдущую задачу) существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями T₁ и T₂, касающимися R₁ и R₂ в точках их пересечения с прямой, соединяющей центры, равен целому кратному угла 360^o/n (рис.).

   Решение

---

В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья – четвёрки, половина – тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?

   Решение

---

Точки  A₁,..., A₆ лежат на одной окружности, а точки K, L, M и N — на прямых  A₁A₂, A₃A₄, A₁A₆ и A₄A₅ соответственно, причем  KL| A₂A₃, LM| A₃A₆ и  MN| A₆A₅. Докажите, что  NK| A₅A₂.

   Решение

Тема:    [ Теорема Паскаля ]

Сложность: 7 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Точки  A₁,..., A₆ лежат на одной окружности, а точки K, L, M и N — на прямых  A₁A₂, A₃A₄, A₁A₆ и A₄A₅ соответственно, причем  KL| A₂A₃, LM| A₃A₆ и  MN| A₆A₅. Докажите, что  NK| A₅A₂.

Решение

Пусть P и Q — точки пересечения прямой A₃A₄ с A₁A₂ и A₁A₆, а R и S — точки пересечения прямой A₄A₅ с A₁A₆ и A₁A₂. Тогда  A₂K : A₃L = A₂P : A₃P, A₃L : A₆M = A₃Q : A₆Q и  A₆M : A₅N = A₆R : A₅R. Поэтому требуемое соотношение  A₂K : A₅N = A₂S : A₅S перепишется в виде

Пусть T — точка пересечения прямых A₂A₃ и A₅A₆; по теореме Паскаля точки S, Q и T лежат на одной прямой. Применяя теорему Менелая (см. задачу 5.58) к треугольнику PQS и точкам T, A₂ и A₃, а также к треугольнику RQS и точкам T, A₅ и A₆, получаем

Перемножая эти равенства, получаем требуемое. (Отношения отрезков следует считать ориентированными.)

Источники и прецеденты использования