Два подобных равнобедренных треугольника имеют общую вершину. Докажите, что проекции их оснований на прямую, соединяющую середины оснований, равны.

   Решение

Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке O, и произвольная точка P. Прямая l, проходящая через точку P, пересекает прямые a и b в точках A и B. Докажите, что величина  (AO/OB)/(PA/PB) не зависит от выбора прямой l.

   Решение

Дано n попарно не сонаправленных векторов (n3), сумма которых равна нулю. Докажите, что существует выпуклый n-угольник, набор векторов сторон которого совпадает с данным набором векторов.

   Решение

Даны точка A и окружность S. Проведите через точку A прямую так, чтобы хорда, высекаемая окружностью S на этой прямой, имела данную длину d.

   Решение

Тема:    [ Метод ГМТ ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны точка A и окружность S. Проведите через точку A прямую так, чтобы хорда, высекаемая окружностью S на этой прямой, имела данную длину d.

Решение

Пусть R — радиус окружности S, O — ее центр. Если окружность S высекает на прямой, проходящей через точку A, хорду PQ и M — середина PQ, то  OM² = OQ² - MQ² = R² - d²/4. Поэтому искомая прямая касается окружности радиуса  с центром O.

Источники и прецеденты использования