Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль вольвокс — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток на 12 больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?

   Решение

Башенные часы отбивают три удара за 12 с. В течение какого времени они пробьют шесть ударов?

   Решение

Через точки R и E, принадлежащие сторонам AB и AD параллелограмма ABCD и такие, что  AR = ⅔ AB,  AE = ⅓ AD, проведена прямая.
Найдите отношение площади параллелограмма к площади полученного треугольника.

   Решение

Делится ли число  10²⁰⁰² + 8  на 9?

   Решение

На одной стороне острого угла даны точки A и B. Постройте на другой его стороне точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом.

   Решение

У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если а) чёрных граней больше половины; б) сумма площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.

   Решение

Дан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4 .

   Решение

Постройте треугольник ABC по m_a, m_b и m_c.

   Решение

Тема:    [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник ABC по m_a, m_b и m_c.

Решение

Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть  AA₁, BB₁ и CC₁ — его медианы, M — точка их пересечения, M' — точка, симметричная M относительно точки A₁. Тогда  MM' = 2m_a/3, MC = 2m_c/3 и  M'C = 2m_b/3, поэтому треугольник MM'C можно построить. Точка A симметрична M' относительно точки M, а точка B симметрична C относительно середины отрезка MM'.

Источники и прецеденты использования