Король решил уволить в отставку премьер-министра, но не хотел его обидеть. Когда премьер-министр пришёл к королю, тот сказал: "В этот портфель я положил два листа бумаги. На одном из них написано "`Останьтесь"', на другом  — "`Уходите"'. Листок, который вы сейчас не глядя вытянете из портфеля, решит вашу судьбу". Премьер-министр догадался, что на обоих листках написано "Уходите". Однако ему удалось сделать так, что король его оставил. Как поступил премьер-министр?

   Решение

Покупатель взял у продавца товара на 10 р. и дал 25 р. У продавца не нашлось сдачи, и он разменял деньги у соседа. Когда они расплатились и покупатель ушёл, сосед обнаружил, что 25 р. фальшивые. Продавец вернул соседу 25 р. и задумался. Какой убыток понёс продавец?

   Решение

Федя всегда говорит правду, а Вадим всегда лжёт. Какой вопрос надо было бы им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы?

   Решение

На прямой даны 3 точки A, B, C. На отрезке AB построен равносторонний треугольник ABC₁, на отрезке BC построен равносторонний треугольник BCA₁. Точка M — середина отрезка AA₁, точка N — середина отрезка CC₁. Доказать, что треугольник BMN — равносторонний. (Точка B лежит между точками A и C; точки A₁ и C₁ расположены по одну сторону от прямой AB.)

   Решение

Докажите, что при  a, b, c > 0  имеет место неравенство  

   Решение

Впишите в данный треугольник ABC прямоугольник PQRS (вершины R и Q лежат на сторонах AB и BC, P и S — на стороне AC) так, чтобы его диагональ имела данную длину.

   Решение

Тема:    [ Треугольник (построения) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Впишите в данный треугольник ABC прямоугольник PQRS (вершины R и Q лежат на сторонах AB и BC, P и S — на стороне AC) так, чтобы его диагональ имела данную длину.

Решение

Пусть точка B' лежит на прямой l, проходящей через точку B параллельно AC. Стороны треугольников ABC и AB'C высекают на прямой, параллельной AC, равные отрезки. Поэтому прямоугольники P'R'Q'S' и PRQS, вписанные в треугольники ABC и AB'C соответственно, равны, если точки R, Q, R' и Q' лежат на одной прямой.
Возьмем точку B' на прямой l так, что  B'AC = 90^o. В треугольник AB'C прямоугольник P'R'Q'S' с данной диагональю P'Q' вписывается очевидным образом (P' = A). Проведя прямую R'Q', находим вершины R и Q искомого прямоугольника.

Источники и прецеденты использования