Точка P лежит внутри равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC ),  причём  ∠ABC = 80°,  ∠PAC = 40°,  ∠ACP = 30°.  Найдите угол BPC.

   Решение

Тема:    [ Треугольник (построения) ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник ABC по радиусу вписанной окружности r и (ненулевым) длинам отрезков AO и AH, где O — центр вписанной окружности, H — ортоцентр.

Решение

Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть B₁ — точка касания вписанной окружности со стороной AC. В прямоугольном треугольнике AOB₁ известны катет OB₁ = r и гипотенуза AO, поэтому можно построить угол OAB₁, а значит, и угол BAC. Пусть O₁ — центр описанной окружности треугольника ABC, M — середина стороны BC. В прямоугольном треугольнике BO₁M известны катет O₁M = AH/2 (см. решение задачи 5.105) и угол BO₁M (он равен A или  180^o - A), поэтому его можно построить. Затем можно определить длину отрезка  OO₁ = (см. задачу 5.11, а)). Итак, можно построить отрезки длиной R и OO₁ = d.
После этого возьмем отрезок AO и построим точку O₁, для которой AO₁ = R и OO₁ = d (таких точек может быть две). Проведем из точки A касательные к окружности радиуса r с центром O. Искомые точки B и C лежат на этих касательных, удалены от точки O₁ на расстояние R и, разумеется, отличны от точки A.

Источники и прецеденты использования