Точка $M$ – середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$. Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точке $E$. Пусть $ED$ пересекает $\omega_1$ в точке $F$, а $FB$ пересекает $AD$ в $G$. Докажите, что $GM$ – биссектриса угла $BGD$.

   Решение

Существуют ли такие 2018 положительных несократимых дробей с различными натуральными знаменателями, что знаменатель разности каждых двух из них (после приведения к несократимому виду) меньше знаменателя любой из исходных 2018 дробей?

   Решение

Тема:    [ Четырехугольники (построения) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.

Решение

Пусть a, b, c — данные прямые, причём прямая b лежит между a и c. Предположим, что вершины A, B, C квадрата ABCD лежат на прямых a, b, c соответственно.

Первое решение. Из того, что ABC = 90^o и AB = BC вытекает следующее построение. Возьмём на прямой b произвольную точку B и повернём прямую a относительно точки B на 90^o (в одну или в другую сторону). Точка C — это точка пересечения прямой c и образа прямой a при указанном повороте.

Второе решение. Возьмём на прямой b произвольную точку B и опустим из неё перпендикуляр BA₁ на прямую a и перпендикуляр BC₁ на прямую c. Прямоугольные треугольники BA₁A и CC₁B имеют равные гипотенузы и равны углы, поэтому они равны. Из этого вытекает следующее построение. На прямой a строим отрезок A₁A, равный отрезку BC₁. Мы построили вершину A. Вершина C строится аналогично.

Источники и прецеденты использования