Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением  ^a/_{cos α} = ^b/_{cos β},  то треугольник – равнобедренный.

   Решение

---

Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

   Решение

---

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

   Решение

---

Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что  X + Y = 10²⁰⁰.  Доказать, что X делится на 50.

   Решение

---

а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5.
б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности взять сумму?

   Решение

---

Исследуйте последовательности на сходимость:
а) x_{n + 1} = ,    x₀ = 1;
б) x_{n + 1} = sin x_n,     x₀ = a (0;);
в) x_{n + 1} = ,    a > 0, x₀ = 0.

   Решение

---

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

   Решение

Тема:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

Решение

Пусть x = b + c - a, y = c + a - b, z = a + b - c. Согласно неравенству треугольника эти числа положительны. Ясно, что a = , b = , c = . Поэтому требуемое неравенство переписывается в виде

Остаётся заметить, что + 2 и т.д.

Источники и прецеденты использования