Версия для печати
Убрать все задачи

---

В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?

   Решение

---

Расшифруйте ребус: КИС+КСИ=ИСК. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным  — разные.

   Решение

---

  На шкуре у Носорога складки – вертикальные и горизонтальные. Если у Носорога на левом боку a вертикальных, b горизонтальных складок, а на правом – c вертикальных и d горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии  (abcd)  или просто Носорог  (abcd).
  Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз, и у Носорога на этом боку есть две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух таких складок нет, то ничего не происходит.
  Аналогично если Носорог чешется боком вперед-назад, и на этом боку есть две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдётся, то ничего не происходит.
  Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется две новые складки: одна вертикальная и одна горизонтальная.
  Носороги чешутся часто, случайным боком о случайные баобабы в случайных направлениях.

  Вначале в саванне было стадо Носорогов  (0221).  Докажите, что через некоторое время в саванне появится Носорог  (2021).

   Решение

---

а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник.
б) Докажите, что среди всех выпуклых n-угольников A₁...A_n с данными величинами углов A_i и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный n-угольник.

   Решение

---

В равнобедренной трапеции ABCD большее основание  AD = 12,  AB = 6.  Найдите расстояние от точки O пересечения диагоналей до точки K пересечения продолжений боковых сторон, если продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.

   Решение

---

Докажите, что пересечение трёх прямых круговых цилиндров с радиусами 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержится в некотором шаре радиуса  

   Решение

---

Из пункта A одновременно вылетают 100 самолетов (флагманский и 99 дополнительных). С полным баком горючего самолет может пролететь 1000 км. В полёте самолеты могут передавать друг другу горючее. Самолет, отдавший горючее другим, совершает планирующую посадку. Каким образом надо совершать перелёт, чтобы флагман пролетел возможно дальше?

   Решение

---

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A₁, B₁ и C₁, лежащие на одной прямой. Докажите, что

   Решение

---

Углы AOB и COD совмещаются поворотом так, что луч OA совмещается с лучом OC, а луч OB – с OD. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках E и F. Доказать, что углы AOE и DOF равны.

   Решение

---

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
ab cos + bc cos + ca cos = (a² + b² + c²)/2.

   Решение

---

а) В круг площади S вписан правильный n-угольник площади S₁, а около этого круга описан правильный n-угольник площади S₂. Докажите, что  S² > S₁S₂.
б) В окружность, длина которой равна L, вписан правильный n-угольник периметра P₁, а около этой окружности описан правильный n-угольник периметра P₂. Докажите, что  L² < P₁P₂.

   Решение

Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) В круг площади S вписан правильный n-угольник площади S₁, а около этого круга описан правильный n-угольник площади S₂. Докажите, что  S² > S₁S₂.
б) В окружность, длина которой равна L, вписан правильный n-угольник периметра P₁, а около этой окружности описан правильный n-угольник периметра P₂. Докажите, что  L² < P₁P₂.

Решение

а) Можно считать, что описанный n-угольник  A₁...A_n и вписанный n-угольник  B₁...B_n расположены так, что прямые A_iB_i пересекаются в центре O данного круга. Пусть C_i и D_i — середины сторон  A_iA_{i + 1} и  B_iB_{i + 1}. Тогда  S_OBiCi = p ^. OB_i ^. OC_i, S_OBiDi = p ^. OB_i ^. OD_i и  S_OAiCi = p ^. OA_i ^. OC_i, где  p = (sin A_iOC_i)/2. Так как  OA_i : OC_i = OB_i : OD_i, то  S_OBiCi² = S_OBiDiS_OAiCi. Остается заметить, что площадь части круга, заключенной внутри угла A_iOC_i, больше  S_OBiCi, а площади частей вписанного и описанного n-угольников, заключенных внутри этого угла, равны  S_OBiDi и  S_OAiCi.
б) Пусть радиус окружности равен R. Тогда  P₁ = 2nR sin(/n), P₂ = 2nRtg(/n) и L = 2R. Нужно доказать, что  sin xtgx > x² при  0 < x /3. Так как 1 - = 1 - + и  0 < cos x 1 - + (см. приложение в конце главы), остается проверить, что  1 - + 1 - + , т. е. 12x² > x⁴. При  x /3 это неравенство выполняется.

Источники и прецеденты использования