Задача 57379

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Неравенство Коши ] [ Площадь параллелограмма ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

В параллелограмм P₁ вписан параллелограмм P₂, а в параллелограмм P₂ вписан параллелограмм P₃, стороны которого параллельны сторонам P₁. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон P₁ не превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны P₃.

Решение

Введем такие обозначения, как на рисунке. Все рассматриваемые параллелограммы имеют общий центр (задача 56462). Длины сторон параллелограмма P₃ равны  a + a₁  и  b + b₁,  а длины сторон параллелограмма P₁ равны  a + a₁ + 2x  и  b + b₁ + 2y,  поэтому нужно проверить, что
a + a₁ + 2x ≤ 2(a + a₁)  или  b + b₁ + 2y ≤ 2(b