Задача 57415

Тема:    [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Пусть  x = ab + bc + ca, x₁ = m_am_b + m_bm_c + m_cm_a. Докажите, что  9/20 < x₁/x < 5/4.

Решение

Пусть  y = a² + b² + c² и  y₁ = m_a² + m_b² + m_c². Тогда 3y = 4y₁ (задача 12.11, б)), y < 2x (задача 9.7) и  2x₁ + y₁ < 2x + y, так как  (m_a + m_b + m_c)² < (a + b + c)² (см. задачу 9.2). Сложив неравенство  8x₁ + 4y₁ < 8x + 4y с равенством 3y = 4y₁, получим  8x₁ < y + 8x < 10x, т. е. x₁/x < 5/4.
Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Достроим треугольник AMB до параллелограмма AMBN. Применив к треугольнику AMN доказанное утверждение, получим  (x/4)/(4x₁/9) < 5/4, т. е.  x/x₁ < 20/9.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	1
Название	Медианы
Тема	Неравенства с медианами
задача
Номер	10.007