Задача 57433

Тема:    [ Длины сторон (неравенства) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если a, b, c — длины сторон треугольника периметра 2, то  a² + b² + c² < 2(1 - abc).

Решение

Согласно задаче 12.30  a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ac) = 4p² - 2r² - 2p² - 8rR = 2p² - 2r² - 8Rr и abc = 4prR. Таким образом, нужно доказать неравенство  2p² - 2r² - 8rR < 2(1 - 4prR), где p = 1. Это неравенство очевидно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	4
Название	Длины сторон
Тема	Длины сторон (неравенства)
задача
Номер	10.023