Информация о задаче

Задача 57443

Тема:

[

Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что
а) 5R - r $\geq$ $\sqrt{3}$ p;
б) 4R - r_a $\geq$ (p - a)[ $\sqrt{3}$ + (a² + (b - c)²)/(2S)].

Решение

а) Сложив равенство 4R + r = r_a + r_b + r_c (задача 12.24) с неравенством R - 2r $\geq$ 0 (задача 10.26), получим

$\begin{multline*} 5R-r\geq r_a+r_b+r_c= pr((p-a)^{-1}+(p-b)^{-1}+(p-c)^{-1})=\\ =p(ab+bc+ca-p^2)/S= p(2(ab+bc+ca)-a^2-b^2-c^2)/4S. \end{multline*}$

Остается заметить, что 2(ab + bc + ac) - a² - b² - c² $\geq$ 4 $\sqrt{3}$ S (задача 10.54).
б) Легко проверить, что 4R - r_a = r_b + r_c - r = pr/(p - b) + pr/(p - c) - pr/p = (p-a)(p²-bc)/S. Остается заметить, что 4(p² - bc) = a² + b² + c² + 2(ab - bc + ca) = 2(ab + bc + ac) - a² - b² - c² + 2(a² + b² + c² - 2bc) $\geq$ 4 $\sqrt{3}$ S + 2(a² + (b - c)²).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	5
Название	Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей
Тема	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями
задача
Номер	10.033