Информация о задаче

Задача 57449

Тема:

[

Симметричные неравенства для углов треугольника

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) ctg( $\alpha$ /2) + ctg( $\beta$ /2) + ctg( $\gamma$ /2) $\geq$ 3 $\sqrt{3}$ .
б) Для остроугольного треугольника

tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ + tg $\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \geq$ 3 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Решение

а) Согласно задаче 12.44, а) ctg( $\alpha$ /2) + ctg( $\beta$ /2) + ctg( $\gamma$ /2) = p/r. Кроме того, p $\geq$ 3 $\sqrt{3}$ r (задача 10.53, а)).
б) Следует из а) (см. замечание). Для тупоугольного треугольника tg $\alpha$ + tg $\beta$ + tg $\gamma$ < 0; см., например, задачу 12.46.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	6
Название	Симметричные неравенства для углов треугольника
Тема	Симметричные неравенства для углов треугольника
задача
Номер	10.039