Информация о задаче

Задача 57451

Тема:

[

Симметричные неравенства для углов треугольника

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ $\leq$ 3 $\sqrt{3}$ /8;
б) cos( $\alpha$ /2)cos( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2) $\leq$ 3 $\sqrt{3}$ /8.

Решение

а) Так как sin x = 2 sin(x/2)cos(x/2), то, используя результаты задач 12.36, а) и 12.36, в), получаем sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ = pr/2R². Кроме того, p $\leq$ 3 $\sqrt{3}$ R/2 (задача 10.29) и r $\leq$ R/2 (задача 10.26).
б) Следует из а) (см. замечание).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	6
Название	Симметричные неравенства для углов треугольника
Тема	Симметричные неравенства для углов треугольника
задача
Номер	10.041