Информация о задаче

Задача 57657

Тема:

[

Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть A₄ — ортоцентр треугольника A₁A₂A₃. Докажите, что существуют такие числа $\lambda_{1}^{}$ ,..., $\lambda_{4}^{}$ , что A_iA_j² = $\lambda_{i}^{}$ + $\lambda_{j}^{}$ , причем, если треугольник не прямоугольный, то $\sum$ (1/ $\lambda_{i}^{}$ ) = 0.

Решение

Одна из точек A_i лежит внутри треугольника, образованного тремя другими точками, поэтому можно считать, что треугольник A₁A₂A₃ остроугольный (или прямоугольный). Числа $\lambda_{1}^{}$ , $\lambda_{2}^{}$ и $\lambda_{3}^{}$ легко находятся из соответствующей системы уравнений; в результате получаем $\lambda_{1}^{}$ = (b² + c² - a²)/2, $\lambda_{2}^{}$ = (a² + c² - b²)/2 и $\lambda_{3}^{}$ = (a² + b² - c²)/2, где a = A₂A₃, b = A₁A₃ и c = A₁A₂. Согласно задаче 5.45, б) A₁A₄² = 4R² - a², где R — радиус описанной окружности треугольника A₁A₂A₃. Поэтому $\lambda_{4}^{}$ = A₁A₄² - $\lambda_{1}^{}$ = 4R² - (a² + b² + c²)/2 = A₂A₄² - $\lambda_{2}^{}$ = A₃A₄² - $\lambda_{3}^{}$ .
Проверим теперь, что $\sum$ 1/ $\lambda_{i}^{}$ = 0. Так как (b² + c² - a²)/2 = bc cos $\alpha$ = 2Sctg $\alpha$ , то 1/ $\lambda_{1}^{}$ = tg $\alpha$ /2S. Остается заметить, что 2/(a² + b² + c² - 8R²) = (tg $\alpha$ +tg $\beta$ +tg $\gamma$ )/2S (задача 12.49).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	9
Название	Разные задачи
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер	12.074