Версия для печати
Убрать все задачи

---

Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (не пересекающих друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

   Решение

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.

Решение

Пусть  (a₁, b₁),(a₂, b₂) и (a₃, b₃) — координаты вершин треугольника. Координаты центра его описанной окружности задаются системой уравнений

Легко проверить, что эти уравнения линейные, а значит, решение рассматриваемой системы уравнений рационально.

Источники и прецеденты использования