Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник площади 1 со сторонами  a b c. Докажите, что  b .

   Решение

---

Внутри выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n взята точка O так, что +...+ = . Пусть d = OA₁ +...+ OA_n. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d /n при n четном и не меньше 4dn/(n² - 1) при n нечетном.

   Решение

Тема:    [ Метод усреднения ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n взята точка O так, что +...+ = . Пусть d = OA₁ +...+ OA_n. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d /n при n четном и не меньше 4dn/(n² - 1) при n нечетном.

Решение

Согласно задаче 13.39 неравенство достаточно доказать для проекций векторов на любую прямую. Пусть проекции векторов ,..., на прямую l равны (с учетом знака) a₁,..., a_n. Разобьем числа a₁,..., a_n на две группы: x₁x₂...x_k 0 и  y₁'y₂'...y_{n - k}' 0. Пусть y_i = - y_i'. Тогда x₁ +...+ x_k = y₁ +...+ y_{n - k} = a, а значит, x₁a/k и  y₁a/(n - k). Периметру в проекции соответствует число 2(x₁ + y₁). Сумме длин векторов в проекции соответствует число x₁ +...+ x_k + y₁ +...+ y_{n - k} = 2a. А так как

то остается заметить, что величина k(n - k) максимальна при k = n/2 для четного n и при k = (n±1)/2 для нечетного n.

Источники и прецеденты использования