Версия для печати
Убрать все задачи

---

На конференции присутствовали представители двух конкурирующих фирм “Индекс” и “Зугл” Алексей, Борис и Владимир. Представители одной и той же компании всегда говорят правду друг другу и врут конкурентам. Алексей сказал Борису: «Я из фирмы “Индекс”». Борис ответил: «О! Вы с Владимиром работаете в одной фирме!». Можно ли по этому диалогу определить, где работает Владимир?

   Решение

---

Даны две точки A и B. Найдите геометрическое место таких точек C, что точки A, B и C можно накрыть кругом единичного радиуса.

   Решение

---

Внутри выпуклого четырехугольника с суммой длин диагоналей d расположен выпуклый четырехугольник с суммой длин диагоналей d'. Докажите, что d' < 2d.

   Решение

---

  Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.
  а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду  x⁴ = Ax² + Bx + C.     (*)
  б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде  x⁴ + 2αx² + α² = (A + 2α)x² + Bx + (C + α²).     (**)
    Докажите, что для некоторого  α > – ^A/₂  правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.
  в) Пользуясь равенством (**), опишите метод нахождения корней уравнения (*).

   Решение

---

Решите задачу 13.44, используя свойства центра масс.

   Решение

Тема:    [ Центр масс (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Решите задачу 13.44, используя свойства центра масс.

Решение

Поместим в вершины многоугольника A₁...A_n единичные массы. Тогда O — центр масс данной системы точек. Поэтому = ( +...+ )/n и  A_iO(A_iA₁ +...+ A_iA_n)/n. Следовательно, d = A₁O +...+ A_nOA_iA_j. Число n можно записать либо в виде n = 2m, либо в виде n = 2m + 1. Пусть P — периметр многоугольника. Ясно, что A₁A₂ +...+ A_nA₁ = P, A₁A₃ + A₂A₄ +...+ A_nA₂2P,..., A₁A_{m + 1} + A₂A_{m + 2} +...+ A_nA_mmP, причем в левых частях этих неравенств встречаются все стороны и диагонали. Так как в сумму A_iA_j все они входят дважды, то

При n четном это неравенство можно усилить за счет того, что в этом случае в сумму A₁A_{m + 1} +...+ A_nA_{m + n} каждая диагональ входит дважды, т. е. вместо mP можно взять mP/2. Значит, при n четном

Таким образом, при n четном d P = P, а при n нечетном d P =  P.

Источники и прецеденты использования