Условие
Пусть
M — центр масс треугольника
ABC,
X —
произвольная точка. На прямых
BC,
CA и
AB взяты точки
A1,
B1 и
C1 так, что
A1X|
AM,
B1X|
BM и
C1X|
CM.
Докажите, что центр масс
M1 треугольника
A1B1C1 совпадает
с серединой отрезка
MX.
Решение
Пусть прямые, проходящие через точку
X параллельно
AC и
BC, пересекают прямую
AB в точках
K и
L соответственно.
Если
(
:
:
) — барицентрические координаты
точки
X, причем
+
+
= 1, то
2
=
+
=
+
(см. решение задачи
14.32).
Поэтому
3
=
+
+
= (
(
+
) +
(
+
) +
(
+
))/2 = 3
/2 (см. задачу
14.35).
Источники и прецеденты использования
