Задача 57785

Тема:    [ Барицентрические координаты ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Условие

Пусть M — центр масс треугольника ABC, X — произвольная точка. На прямых BC, CA и AB взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что A₁X| AM, B₁X| BM и  C₁X| CM. Докажите, что центр масс M₁ треугольника A₁B₁C₁ совпадает с серединой отрезка MX.

Решение

Пусть прямые, проходящие через точку X параллельно AC и BC, пересекают прямую AB в точках K и L соответственно. Если ( : : ) — барицентрические координаты точки X, причем + + = 1, то 2 = + = + (см. решение задачи 14.32). Поэтому 3 = + + = (( + ) + ( + ) + ( + ))/2 = 3/2 (см. задачу 14.35).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	5
Название	Барицентрические координаты
Тема	Барицентрические координаты
задача
Номер	14.036