Окружности ω₁ и ω₂ касаются внешним образом в точке P. Через центр ω₁ проведена прямая l₁, касающаяся ω₂. Аналогично прямая l₂ касается ω₁ и проходит через центр ω₂. Оказалось, что прямые l₁ и l₂ непараллельны. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе одного из углов, образованных l₁ и l₂.

   Решение

Докажите, что геометрическая прогрессия {a_n} = bx₀ⁿ удовлетворяет соотношению (11.2 ) тогда и только тогда, когда x₀ -- корень характеристического уравнения (11.3 ) последовательности {a_n}.

   Решение

На плоскости даны две точки A и B. Пусть C – некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек A и B. Построим последовательность точек
C₁ = C, C₂, C₃, ...,  где C_n+1 – центр описанной окружности треугольника ABC_n. При каком положении точки C
  а) точка C_n попадёт в середину отрезка AB (при этом C_n+1 и дальнейшие члены последовательности не определены)?
  б) точка C_n совпадает с C?

   Решение

Даны выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка O внутри его. Докажите, что через точку O нельзя провести более n прямых, каждая из которых делит площадь n-угольника пополам.

   Решение

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Даны выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка O внутри его. Докажите, что через точку O нельзя провести более n прямых, каждая из которых делит площадь n-угольника пополам.

Решение

Рассмотрим многоугольник, симметричный исходному относительно точки O. Так как стороны многоугольника попарно непараллельны, контуры этих многоугольников не могут иметь общих отрезков, а могут иметь только общие точки. А так как многоугольники выпуклые, на каждой стороне лежит не более двух точек пересечения; поэтому имеется не более 2n точек пересечения контуров (точнее, n пар симметричных относительно O точек).
Пусть l₁ и l₂ — прямые, проходящие через точку O и делящие площадь исходного многоугольника пополам. Докажем, что внутри каждой из четырех частей, на которые эти прямые делят плоскость, есть точка пересечения контуров. Предположим, что в одной из частей между прямыми l₁ и l₂ нет таких точек. Обозначим точки пересечения прямых l₁ и l₂ со сторонами многоугольника так, как показано на рис. Пусть точки A', B', C' и D' симметричны относительно точки O точкам A, B, C и D соответственно. Для определенности будем считать, что точка A лежит ближе к точке O, чем точка C'. Так как отрезки AB и C'D' не пересекаются, точка B лежит ближе к точке O, чем точка D'. Поэтому S_ABO < S_C'D'O = S_CDO, где ABO — выпуклая фигура, ограниченная отрезками AO и BO и частью границы n-угольника, заключенной между точками A и B.
С другой стороны, S_ABO = S_CDO, так как прямые l₁ и l₂ делят площадь многоугольника пополам. Получено противоречие. Поэтому между каждой парой прямых, делящих площадь пополам, лежит пара симметричных точек пересечения контуров, т. е. таких прямых не более n.

Источники и прецеденты использования