В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?

   Решение

Докажите, что если многоугольник имеет четное число осей симметрии, то он имеет центр симметрии.

   Решение

Тема:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если многоугольник имеет четное число осей симметрии, то он имеет центр симметрии.

Решение

Все оси симметрии проходят через одну точку O (задача 17.33). Если l₁ и l₂ — оси симметрии, то l₃ = S_l1(l₂) — тоже ось симметрии (см. задачу 17.24). Выберем одну из осей симметрии l нашего многоугольника. Остальные оси разбиваются на пары прямых, симметричных относительно l. Если прямая l₁, перпендикулярная l и проходящая через точку O, не является осью симметрии, то число осей симметрии нечетно. Поэтому прямая l₁ является осью симметрии. Ясно, что S_l1oS_l = R_O^180o центральная симметрия, т. е. O — центр симметрии.

Источники и прецеденты использования